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从AwesomeMath看中美数学竞赛教学体系

Category: 国际竞赛, 数学国际竞赛 Date: 2019年8月27日上午10:17

美国人是怎么学数学学术活动的

本文将以数学论文的形式呈现。

Abstract

今年暑假里，我在美国西雅图普吉特湾大学参加了为期3周的AwesomeMaths数学培训活动。这是一个为美国数学学术活动服务的高强度（intense）训练营，有多种课程供不同程度的学生选择。在营地的学习与活动中，我结交了许多来自世界各地的朋友，也对各个国家的情况稍作了一些了解，尤其是美国的数学学术活动培训机制。令我意想不到的是，美国数学培训的方方面面与中国大相径庭，无论是从内容还是形式上来看，都有许多不同之处。在这篇论文中，我们将通过几个定理系统地刻画这两者教育体系的不同点。

Theorem 1. 美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识。

Proof. 我们进行分类讨论：

Case 1. 数论。

数论是一门非常神奇的学科。在中国，几乎所有的数论课程最多也就涵盖下面这些知识点：

素数与合数，最小公倍数与最大公约数，整除，进制，不定方程，高斯函数，同余，著名的数论定理，升幂定理，阶与原根，二次剩余，多项式

也许有些课程中会提到狄利克雷（Dirchlet）定理等，不过老师们对这些定理的介绍千篇一律：顺便提一句，有这么个定理，考试不能用。

某IMO金牌大神上课时也表示：我们对素数一无所知，像Dirchlet定理这样的东西我们就不讲了。

可是在AwesomeMaths Level 3 数论讲义中的知识和定理，远远超出了上述的考纲。它与中国讲义中对这些定理避之不及的态度恰恰相反，第一讲就从研究素数开始，依次介绍了以下的几个引理：

1. 不大于n的所有素数乘积有怎样的上界？

2. 不大于n的所有素数倒数和有怎样的下界？

3. 不大于n的素数个数有怎样的上界？

4. 不大于n的素数个数有怎样的下界？

并借助它们证明了Bertand's Postulate：对每个不小于4的正整数n，在(n, 2n-2]上存在素数。这些问题都需要借助一些较为困难的量级判断与估算，显然不在学术活动考题的研究范围之内，但是据老师所说介绍这些知识是为了 “convince you that number theory is wonderful”。

这本讲义的后面几个部分引入了更为高深的知识：Group theory, euclidean rings, finite fields, Jacobi sum, Jacobi conjecture, Dirchlet theorem，不过同时也与它们在初等数学中的运用进行了有趣的结合。

Fun fact. （1）每天下午的Level 3课程分为数论和几何，数论教室非常冷清，只有6个人；而几何教室则有二十余个学生。我也属于那二十余个学生中的一员，只是偶尔也会和数论课的学生讨论他们的问题。（2）数论课的同学音乐天赋超群，某位同学以Zsigmondy's theorem为主题创作了几首“脍炙人口”的童谣。（3）数论课的老师是一位泰国的数学家。他说如果班上的6位学生加起来能做出习题集中50%的问题，第一周就没有考试。这几位同学每天晚上放弃娱乐时间，快马加鞭地赶作业，最后在群众（例如我）的帮助下完成了任务。到了第二周，老师故技重施，要求他们做出习题集中70%的问题；同学们果断地放弃了……

Case 2. 组合几何。

AwesomeMaths几何课程的最后几天讲的是组合几何知识，老师主要介绍并（艰难地）证明了一个不太熟知的定理：

Szemeredi-Trotter Theorem. 设P为一个点集，L为一个直线集，定义(P, L)的巧合数是满足以下条件的二元组(A, l)的数量：A在P中，l在L中，A在直线l上。那么，(P, L)的巧合数 =O(|P|^(2/3)|L|^(2/3)+|P|+|L|)。

为了给出它的证明，老师又讲解了许多其它定理，包括欧拉公式，有关平面图的不等式，以及crossing number inequality。（到后面全班昏昏欲睡……）

当然，如果你不去关心这个定理的证明，考虑如何运用它解决问题也是很有意思的。例如以下几个问题都可以被化为Szemeredi-Trotter Theorem：

设P是一个点集，T(P)是满足以下条件的二元组(A, B)构成的集合：A, B都在P中，且|AB|=1。证明|T(P)|=O( |P|^(3/2))。

设P是一个点集，证明它们构成的直角三角形个数=O(|P|^(7/3))。（这个问题还需要反演！）

Fun fact. （1）我们的几何老师Cosmin是罗马尼亚人，曾经是罗马尼亚IMO队的一员。他当年没有做出IMO的几何题，但现在几何能力却非常强，甚至有一个以自己命名的三角形特殊点——X3333。（2）Cosmin给我们做的习题有很多都是他自己出的；然而他忘了应该怎么做……（3）Cosmin经典语录：Stalking is the highest form of flattery. That's what I tell all the girls!（4）Cosmin的授课方式让我联想起了一位曾经的中国国家队队员：艾颖华老师。他上次在新星营介绍了Burnside引理、庞加莱猜想等令人望而生畏的高深知识，并谈了谈高等背景视角下的CMO命题。同学们纷纷感到崩溃……

Case 3. 代数。

虽然在中国函数方程并不热门，但柯西方程总还是比较“家喻户晓”的。可是，最近阅读Titu Andreescu 等人所写的一本函数方程书却让我发现：我对柯西方程完全一无所知！

原来，这些作者感兴趣的并不是柯西方程在特定条件下的解。他们研究的问题是：如何用某种一一映射来表示出柯西方程的非平凡解？不同的值域与不同的定义域导致了许多种复杂的情形。第一章主要介绍这些内容，充斥着各种高等的记号：他们提到了选择公理，Hamel Basis等。

然后在第二章，他们又开始介绍柯西方程的推广：琴生方程，线性柯西方程，Pexider方程，Vincze方程，幂平均方程。

还有更多你从来没见过的名字：D'Alembert方程，Aczel-Golab-Schinzel方程……

Fun fact. （1）给我们上代数课的是印度IMO国家队教练，他的课上得还不错，唯一的问题就是……他的英语有着浓重的印度口音，让我有时实在难以理解。例如，我想要告诉他有一道题他的解法错了，能够5分钟讲清楚的事情，我们两个人有时要讨论20分钟，一句话要讲几遍才能讲明白……（2）代数课上的大部分同学都是华裔，有一位俄罗斯的学生也会说一点中文，在大家的激励下老师也学了一点中文。然而最后这位印度教练只学会了三句中文：“你好！”，“你很好！” 和 “你不好！”

结合以上的所有情况，我们已经证明了：美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识。□Remark. 于是我们会自然想到一个问题：这些高等知识实用吗？例如，在中国的学术活动课程中“组合几何”很少会作为一个独立的分支，更不会介绍一些看似生僻刁钻的定理。因为说实话，这类定理对数学学术活动中的解题并不会起到多少实质性的帮助。当然，从非功利性的角度来看，学习新知识总是多多益善，因此我们得到推论：

Corollary 1. 美国顶尖学生的数学水平在一些情况下不及中国的同龄学生，但有些学生在数学上眼界更宽阔。

我在美国的时候，听到某些和我一样大的同学能关于选择公理、群论这些我从未接触过的知识侃侃而谈——这是令我非常惊讶的。但另一方面，他们的基本功就没那么扎实，对学术活动中常出现的一些简单模型了解不多。

Theorem 2. 美国数学学术活动培训系统较为分散，除了暑寒假以外线下课程很少。

Proof. 为了证明这个命题，我们利用三个引理：Lemma 1. 美国最流行的课程都是线上课程。Proof of Lemma. AoPS是全世界最有名、最有影响力的数学论坛，而美国的整个数学培训系统几乎都基于AoPS。在某种程度上AoPS就是美国的XES；但作为一个网站，AoPS显然很少组织线下课程。另一个日益壮大的机构——AwesomeMaths——在学年里的所有课程也都是网课。□

Fun fact. 这次去美国，我结识了一位很好的朋友。我们6年级时就在AoPS上相识，互相分享题目，而这次竟然在AwesomeMath的同一个班里相遇了，简直不可思议；这也说明了AoPS在美国的影响力非常强大。AoPS是一个真正将全世界连接起来的平台。Facebook与Instagram这些社交媒体在中国都无法直接使用，微信在美国也并不流行。而AoPS却第一次让我找到了与美国朋友长久地、便捷地保持联系的方式。

Lemma 2. 美国学校（尤其是初中）很少组织数学学术活动课程。Proof of Lemma. 美国同学们向我抱怨过这个情况，在中国我们经常以学校为单位开展数学学术活动课程，但美国往往不得不以州为单位。美国绝对没有以数学闻名的初中；我本来以为几所著名的高校（例如Andover与Philips Exeter）应该是有学术活动课程的，而同学们也表示他们并不清楚。□

Lemma 3. 美国部分数学学术活动书非常流行。Proof of Lemma. 谈到美国的数学学术活动学习，就不得不讲几本非常著名的参考书籍。在中国，我们有《数学奥林匹克小丛书》、《数学学术活动研究教程》、《命题人讲座》等多套书籍，但他们大多是被作为习题集使用的。而在美国却有一本书不可不读——EGMO（Euclidean Geometry in Mathematical Olympiad）。这是Evan Chen写的一本几何书，包含了基本的倒角倒边，几何定理，计算方法（解析、复数、Barycentric），以及射影几何基础。学学术活动的人基本全部都完完整整地读过这本书，仔细地看过它的例题分析与知识点讲解。当我提到自己从未听说过Barycentric coordinate是什么计算方法时，美国同学显得极其震惊。与中国学术活动教程不同的是，它并不是一本用来刷的书，而是一本用来学、用来看的书。很多人评价说，看完这本书的效果和上完几期几何课没有什么区别。在线下课程资源较少的美国，书反而是最好的老师。

由Lemma 1、Lemma 2与Lemma 3，原命题是显然的。□//Sidenote: 我告诉美国同学自己没读过EGMO后，他热心地注册了微信账号并将EGMO的pdf文件发给了我。第二天，他的账号就因某种神秘的原因（detected suspicious activity）被封了……

Theorem 3. 美国数学学术活动授课以定理为主，而不是以例题为主。

Proof. 正如这篇文章一般，美国的大多数课程注重于对定理的介绍、证明，习题是帮助你熟练掌握定理的辅助工具；而中国的许多课程注重的是对例题的分析、讲解，定理是帮助你迅速解决习题的辅助工具。美国的讲义形式一般是：【定理1】【推论1.1】【推论1.2】

【推论1.3】

【例题1.4】

【定理2】

【推论2.1】

【例题2.2】

【定理3】

【定理4】

【推论4.1】

【习题】

而中国的讲义形式一般是：

【例题1】

【例题2】

【例题3】

【例题4】

【例题5】

【例题6】

【习题】

这也决定了两个国家数学学术活动系统的知识结构框架不同。在中国的几何课我们学习的大多是一些宽泛、普适的技巧，至少在不那么高级的几何课中涉及的定理与模型较少。而在AwesomeMath的Geo3课程中，光是四边形基础就涵括了如下的定理：No Name Theorem 1. 四边形ABCD对角线互相垂直的三个等价条件。Pitot's Theorem. 四边形ABCD有内切圆的等价条件。No Name Theorem 2. 四边形ABCD有外接圆的等价条件。（有关对角线交点到四边的距离）

Brethshneider's Formula. 四边形ABCD边与对角线之间的数量关系。

Casey's Theorem. 四个与同一个圆内切，且互相外切的圆之间公切线的数量关系。

Sawayama's Theorem & Thebault's Theorem. 沢山引理。

Erdos-Mordell Inequality. 三角形内部一点到三边距离的不等关系。

相比之下例题的数量就很少，每个定理至多有2~3道简单的例题帮助理解；这些例题在大多数情况下也是比较有名的推论与运用。

老师会先花不到2个小时介绍这些定理，剩余的1个小时是所谓的“Problem Session”。每节课设置了10~15道习题，后1个小时就由同学们自己完成这些习题。这些习题的难度同样是由浅入深，也有相应的提示，这样就能让同学们掌握定理的运用方式。当然，到了后面有些题目难度系数很高，老师也会偶尔帮助解决一些“疑难杂症”；还有一些老师也忘了怎么解决的题目……

上面好像扯得有点远；无论如何，我们的定理得到了证明。□

Remark. 这样的教学方式当然有好处也有坏处。好处是学生有更多的思考时间，课堂的时间可以更有效地用来讲有价值的定理。但坏处也不少：有些学生无法静下来独立思考，Problem session有时纪律较差，非常混乱。有时我只能通过GoT中小指头的名言来安慰自己：Chaos is a ladder...

另外，老师只会讲解一两道最难的题目，而有时习题中大部分题目难度都不小。习题数量又多，难度又高，这就导致了老师讲不完，学生做不完，整个课程结束了之后还留下一些悬而未决的题目。

Conclusion

综上，我们从三方面刻画了美国与中国的数学学术活动教育体系的不同：美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识；美国数学学术活动培训系统较为分散，除了暑寒假以外线下课程很少；美国数学学术活动授课以定理为主，而不是以例题为主。美国与中国都是世界上顶尖的数学学术活动强国，而两者的教育系统却天差地别。这证明了培养出优秀的数学学术活动选手有许多不同的方法，并非只有唯一解。无论如何，在AwesomeMaths的三周很充实，也很快乐。借用mfang92在AoPS上所写的：

I'll miss getting distracted in alg 3.5 due to sriraamster's strange noises
I'll miss "accidentally" throwing cards out the windowI'll miss being way too loud in the third floor lounge
I'll miss throwing frisbees around while laughing at sriraamster's misfortunesI'll miss starting my sentences with either "imagine" or "DUUUDE imagine"I'll miss people that think that australia is real